math

flowchart LR
    root["微积分基础到傅里叶变换学习路径🧠"]

    %% 一级节点
    root --> prereq["预备知识 📘"]
    root --> calc1["一元微积分 📐"]
    root --> calcn["多元微积分 ⛳"]
    root --> ode["常微分方程 📏"]
    root --> series["级数理论 📊"]
    root --> ft["傅里叶变换（CFT） 🎛️"]
    root --> dftfft["DFT 与 FFT 📈"]
    root --> app["应用与实践 💡"]
    root --> res["学习资源 🧰"]

    %% 预备知识二级节点
    prereq --> algebra["基础代数与函数"]
    prereq --> analytic_geo["解析几何"]

    algebra --> real_complex["实数与复数运算"]
    algebra --> func_graph["函数图像与定义域"]
    algebra --> func_prop["函数性质：奇偶、周期、连续"]
    algebra --> target1["📌 目标：理解基本函数行为，为微积分打下基础"]

    analytic_geo --> plane_geo["平面几何：直线、圆、二次曲线"]
    analytic_geo --> vector_geo["向量与空间几何：模、点积、叉积"]
    analytic_geo --> target2["📌 目标：掌握正交概念，为后续傅里叶展开准备"]

    %% 一元微积分二级节点
    calc1 --> limit_cont["极限与连续"]
    calc1 --> deriv_diff["导数与微分"]
    calc1 --> integral["积分学"]

    limit_cont --> limit_concept["极限概念、左右极限"]
    limit_cont --> continuity["连续性与间断点"]
    limit_cont --> target3["📌 目标：能判断函数极限与连续性"]

    deriv_diff --> deriv_def["导数定义（斜率）"]
    deriv_diff --> deriv_rules["求导规则、链式法则"]
    deriv_diff --> high_deriv["高阶导数与物理意义"]
    deriv_diff --> target4["📌 目标：掌握导数定义及常用求导技巧"]

    integral --> indefinite["不定积分与换元法"]
    integral --> definite["定积分几何应用"]
    integral --> target5["📌 目标：能计算面积/体积，理解积分与导数互逆"]

    %% 多元微积分二级节点
    calcn --> partial_diff["偏导数与全微分"]
    calcn --> multiple_integral["重积分"]

    partial_diff --> multivar_graph["多元函数图像"]
    partial_diff --> partial_gradient["偏导、全微分、梯度"]
    partial_diff --> target6["📌 目标：掌握多变量函数变化率"]

    multiple_integral --> double_integral["二重积分、极坐标变换"]
    multiple_integral --> region_symmetry["区域划分与对称性"]
    multiple_integral --> target7["📌 目标：能计算二重积分、应用于体积求解"]

    %% 常微分方程二级节点
    ode --> ode1st["一阶微分方程"]
    ode --> ode2nd["二阶线性方程"]
    ode --> ode_fourier["与傅里叶的联系"]

    ode1st --> sep_var["分离变量法、齐次、线性微分方程"]
    ode1st --> target8["📌 目标：掌握常见一阶微分方程求解方法"]

    ode2nd --> char_eq["特征方程法（实根/复根/重根）"]
    ode2nd --> non_homo["非齐次解：待定系数法"]
    ode2nd --> target9["📌 目标：能求解二阶微分方程，理解系统响应"]

    ode_fourier --> diff_to_alg["微分方程变换为代数方程"]
    ode_fourier --> target10["📌 目标：了解频域解微分方程的优势"]

    %% 级数理论二级节点
    series --> num_series["数项级数"]
    series --> power_series["幂级数"]
    series --> fourier_series["傅里叶级数 🔁"]

    num_series --> conv_tests["收敛判别法：比值、比较、交错级数"]
    num_series --> target11["📌 目标：判断级数是否收敛"]

    power_series --> taylor_exp["泰勒展开、收敛半径、逐项微积分"]
    power_series --> target12["📌 目标：将函数展开为幂级数近似"]

    fourier_series --> trig_exp["三角级数展开"]
    fourier_series --> orthogonality["正交性与傅里叶系数计算"]
    fourier_series --> periodic_ext["周期延拓与一般周期函数"]
    fourier_series --> target13["📌 目标：理解周期函数的频率分解"]

    %% 傅里叶变换（CFT）二级节点
    ft --> series_to_transform["从级数到变换"]
    ft --> definition_inverse["定义与逆变换"]
    ft --> core_properties["核心性质 ⭐"]
    ft --> common_pairs["常用变换对 🧮"]

    series_to_transform --> period_limit["周期极限 → 非周期函数"]
    series_to_transform --> discrete_freq["离散频率 → 连续频率"]
    series_to_transform --> target14["📌 目标：建立傅里叶变换直觉"]

    definition_inverse --> forward_inverse["正变换/逆变换公式"]
    definition_inverse --> complex_exp["复指数表示优势"]
    definition_inverse --> target15["📌 目标：掌握 CFT 定义及运算"]

    core_properties --> linearity["线性、时移频移"]
    core_properties --> diff_integral["微分与积分性质"]
    core_properties --> energy_conservation["能量守恒（帕塞瓦尔）"]
    core_properties --> target16["📌 目标：通过性质简化变换运算"]

    common_pairs --> rect_sinc["矩形窗 → sinc"]
    common_pairs --> delta_exp["冲激函数 δ，指数函数"]
    common_pairs --> target17["📌 目标：熟记常见函数的变换对"]

    %% DFT 与 FFT 二级节点
    dftfft --> discrete_background["离散化背景"]
    dftfft --> dft_def["DFT 定义"]
    dftfft --> fft["快速傅里叶变换"]

    discrete_background --> sampling_theorem["采样定理（奈奎斯特频率）"]
    discrete_background --> target18["📌 目标：理解信号数字化过程"]

    dft_def --> discrete_mapping["时域 ↔ 频域的离散映射"]
    dft_def --> target19["📌 目标：掌握离散变换计算流程"]

    fft --> divide_conquer["分治法，复杂度 O(N log N)"]
    fft --> target20["📌 目标：掌握 FFT 原理与实用意义"]

    %% 应用与实践二级节点
    app --> signal_proc["信号处理 🎧"]
    app --> image_proc["图像处理 🖼️"]
    app --> pde["偏微分方程求解"]

    signal_proc --> spectrum_analysis["频谱分析、滤波器设计（低通/高通）"]
    signal_proc --> conv_mult["卷积变频域乘法"]
    signal_proc --> target21["📌 目标：能用 FFT 实际处理信号"]

    image_proc --> noise_removal["去周期噪声、边缘检测"]
    image_proc --> target22["📌 目标：理解图像频率信息"]

    pde --> heat_wave["解热传导 / 波动方程"]
    pde --> target23["📌 目标：掌握变换方法在 PDE 中的应用"]

    %% 学习资源二级节点
    res --> textbooks["教材推荐 📚"]
    res --> online_courses["在线课程 🎓"]
    res --> tools_practice["工具与练习 🛠️"]
    res --> target24["📌 目标：搭配练习和可视化工具，提升理解效率"]

    textbooks --> tongji["高等数学（同济第七版）第1-6章：函数、导数、积分"]
    textbooks --> oppenheim_ss["《信号与系统》Oppenheim：第3、4章傅里叶分析"]
    textbooks --> oppenheim_fs["《傅里叶级数与积分变换》（奥本海姆）"]

    online_courses --> coursera_calc["Coursera《Calculus for Everyone》[链接](https://www.coursera.org/learn/calculus1)"]
    online_courses --> mit_signals["edX MIT《Signals and Systems》[链接](https://ocw.mit.edu/courses/6-003-signals-and-systems-spring-2010/)"]
    online_courses --> khan_academy["Khan Academy：微积分 + 傅里叶变换"]

    tools_practice --> python_fft["Python：numpy.fft，scipy.signal"]
    tools_practice --> matlab_fft["Matlab：fft, freqz"]
    tools_practice --> desmos["Desmos：函数图像可视化"]
    tools_practice --> math_se["Math Stack Exchange：高质量问题解答"]